БичлэгТригнометр Функц
Туслах Теорем
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = 0,
h'(0) = 0.
бол h = 0. (h нь налуу функц байна.)
Баталгаа
1-р тэнцэтгэлийг нь h' - ээр vржvvлвэл
h'h'' + h'h = 0
гарна. Тэгэхлээр
[(h')2 + h2]' = 0 = 2(h'h'' + h'h)
байна. Өөрөөр хэлбэл (h')2 + h2 чинь налуу функц байна. (Хэрвээ уламжлал нь бvх бодит тооны хувьд 0 бол функц нь налуу байдаг.) h(0) = 0, h'(0) = 0 гэсэн болохлээр
[h'(x)]2 + [h(x)]2 = 0 (бvх бодит х - ийн хувьд)
Энэ нь h(x)=0 налуу функц болохыг хэлж байна.
Теорем 31
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = a,
h'(0) = b
бол h = b 
sin + a cos.
Баталгаа
g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x) гэе. Тэгвэл
g'(x) = h'(x) - b cos(x) + a sin(x)
g''(x) = h''(x) + b sin(x) + a sin(x)
байна. Vvнээс h'' + h = 0, h(0) = 0, h'(0) = 0 болох нь харагдаж байна. Туслах теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
0 = g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x)
h(x) = b sin(x) - a cos(x)
байна.
31 - р теоремийн ерөнхий тохиолдолыг бид дараа авч vзнэ. Харин энэ теорем бидэнд нэг чухал тригнометрийн адилтгалыг батлахад тусалдаг. (Ихэнх номнууд дээр энэ теоремийн баталгаанд геометр оролцдог. Харин бидний баталгаанд алгебраас өөр юм байхгvй!)
Теорем 32
Хэрвээ x, y хоёр нь зvгээр л бодит тоонууд бол
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y).
Баталгаа
Дурын у - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y)
гэе. Тэгвэл
ф'(x) = cos(x+y)
ф''(x) = -sin(x+y)
байна. Vvнээс ф + ф'' = 0, ф(0) = sin(y), ф'(0) = cos(y) болох нь харагдаж байна. 31-р теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
байна. Ямар ч у - ийг сонгож авч болох байсан болохлээр эхний томъёо нь батлагдлаа. Дараагийнх нь томъёог энэтэй төстэйгөөр баталдаг. Өөрөө оролдоод vзээрэй.
Бид өмнө нь
Пифагорийн адилтгал гэж нэрэлдэг sin2(x) + cos2(x) = 1 томъёоноос болон 32-р теоремоос янз бvрийн тригнометрийн адилтгалуудыг гаргаж авч болдог. Бид заримийг нь энд орууллаа.
x+y=a, x-y=b гэвэл x = (a + b)/2, y = (a - b)/2 байх ба
байна. sin(a)-sin(b), cos(a)-cos(b), cos(a)+cos(b) зэргийг бас иймэрхvv аргаар олдог.
байдаг. Баруун гар талд байгаа урт илэрхийллийх нь хvртвэр хувиарыг cos(x)cos(y) - д хуваавал (яагаад завал cos(x)cos(y) тохьромжтой гэж?)
гэсэн адилтгал гардаг. tan(x-y), cot(x+y), cot(x-y) зэргийг бас энэ маягаар олдог. (Ямар тоогоор хvртвэр хувиарийг нь яагаад хувааж байгааг ойлгож авах хэрэгтэй.)
г.м. - ийн юмнуудыг анхаарвал sin(x)cos(y), sin(x)sin(y), cos(x)cos(y) нартай тэнцvv адилтгалтуудыг хялбархан олж болно.
Чи энэ бvгдийг цээжлэх албагvй, харин зvгээр л эдгээрийг яаж олох аргуудыг нь мэдэж аваарай. Тэгвэл дараа хvссэн цагтаа олж чаддаг болно. (Зарим чухал хэдийг нь л цээжилчих.)
Эцэст нь x=y гэвэл бидний өмнөх адилтгалуудаас sin(2a) = 2sin(a)cos(a), cos(2a) = cos2a - sin2a гэсэн адилтгалууд гардаг. Энэ хоёрыг интегралчилах vйлдэлд хааяа нэг хэрэглэгддэг. (Бид дараа энэ тухай сурна.)
Бас нэг цээжлэх юм гэвэл
Нэгж тойргоо хар ухаанаараа санавал эдгээр утгууд sin, cos хоёрыг х, у тэнхлэгтэй 30 градус, 60 градусын өнцөг vvсгэхэдэд гардаг утгуудтай адил байна. Өөрөөр хэлбэл тэр зарим сурах бичгvvд дээр ирдэг том том хvснэгтvvдийг цээжлэх бол цагийн гарз, зvгээр л дээрх гурвын цээжлээд л, хаана нь эдгээр утга гардагийг мэдэж байх хэрэгтэй.
Функцийн хязгаар
Ньютон, Лебниц - ийн математикт (анализ) асар их чухал vvрэг гvйцэтгэдэг функцийн хязгаарын ухагтхуун нь нэлээд хэцvv сэдэвт орно. Иймээс бид хязгаарын жинхэнэ тодорхойлолтыг ойлгомжтой болгохын тулд одоохондоо тvр зуурын тодорхойлолт ашиглана. Тvр зуурынхаа тодорхойлолтоороо хязгаар гэж юу болох, юунд хэрэгтэй юм гэдгийг ойлгож авах байх гэж найдаад яриагаа эхлэе.
Тvр зуурын (яг нарийн биш) тодорхойлолт: Ямар нэгэн функц f нь "а" - гийн дэргэд хязгаар "L" - д ойртоно гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.
Одоо хэдэн жишээ авч vзье:
Зураг 1
f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна.
 Зураг 2 |  Зураг 3 |
2-р зураг дээр f(a) = L нь худал болов ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Хэдийгээр 3-р зураг дээр f(a) (энэ функц биш, харин жирийн тоо болохыг анхаарна уу) нь тодорхойлогдоогvй ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Бидэнд f(а) хэд байх, ямар байх нь ерөөсөө хамаа байхгvй; "а" - д ойрхон х - vvдийн хувьд л f(x) нь L - д ойртож байвал боллоо. Давтая: f(a) чухал биш.
 |  |
Хараажаар 4 - зураг дээр а - гийн дэргэд ямар ч хязгаар алга байна. Харин 5-р зураг дээр f - ийн а - гийн дэрэгдэх хязгаар нь L биш харин M байна. Эдгээр жишээнvvдийг сайн ойлгохгvй байгаа бол тvр зуурын тодорхойлолтоо олон дахин уншаарай.
Одоо зураг биш, жинхэнэ функц авч vзье.
гэе. Одоохондоо sin(x) функцийг vзэж эхлээгvй байгаа бол санаа битгий зов.
Дээрх зураг дээрээс ажиглавал х тэгд ойртох тусам f(x) нь тэгд ойртож байна. Өөрөөр хэлбэл x-->0 байвал f(x)-->0 байна.
Одоо ямар нэгэн тоо 
> 0 байлаа гэж бодъё. Энэ бол зvгээр л эерэг, бодит тоо (Грекийн "эпсилон" vсэгээр тэмдэглэгдсэн).
байдгийг санавал,
тэнцэтгэл бишийг хангахын тулд x < байхад хангалттай гэдэг нь харагдаж байна. нь ямар ч тоо байж болох байсан болохлээр тvрvvний бидний хийсэн ажиглалт vнэн гэдэг нь ойлгомжтой болж байна. Өөрөөр хэлбэл тоо багасах тусам (нойл - д ойртох тусам) f(x) бас багасаж байна. Тэгэхлээр f функцийн хязгаар нь 0 - ийн дэргэд 0 байна.
Бид хязгааруудыг
гэж тэмдэглэдэг. х - ийн оронд ямарч vсэг орлуулж болно. х нь энд f функцийн хувьсах хэмжэгдхvvнийг тодорхойлохоос өөр vvрэггvй байна.
Одоо жинхэнэ тодорхойлолтоо дурдая. Бидний анхны тодорхойлолт ингэж байсан:
гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.
Нэгдvгээрт, "х-г а-д ойртуулна", "f(x) хязгаар L-д ойртоно" гэдэг маань "|x - a| - г багасгана", "|f(x) - L| багасана" гэсэнтэй адилхан билээ. Тэгэхлээр:
гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (
), |f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана." гэсэн vг юм.
Хоёрдугаарт, "|f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана" гэдэг нь "Дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэнтэй адилхан билээ. Өөрөөр хэлбэл, хичнээн бага байсан ч бид |f(x) - L| - г - ээс бага байлгаж чадна. Тиймээс:
гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэн vг юм.
Өгөгдсөн тоо болгонд тохируулж бид |x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгана гэдэг маань |x - a| < 
тэнцэтгэл бишийг хангах тоо (Грекийн "делта" vсгээр тэмдэглэв) олдоно гэсэн vг юм. Өгөгдсөн > 0 болгонд ямар нэгэн > 0 олдохыг, бас байгааг анхаарвал, бидний ЖИНХЭНЭ Функцийн Хязгаарын тодорхойлолт ингэж хэлэгдэнэ:
Дурын 
> 0 тоо сонгон авах бvрд 0 < |x - a| < 
тэнцэтгэл бишийг хангах бvх х - гийн хувьд |f(x) - L| < тэнцэтгэл биш биелж байхаар > 0 тоо олдож байвал L тоог f(x) функцийн а - гийн дэргэдэх хязгаар гэнэ.
Дээрхийг
v
Ньютон - Лейбницийн Теорем
Хоорондоо ямар ч холбоогvй мэт харагдах уламжлал интеграл хоёрыг холбодог энэ теорем нь гайхалтай гэмээр энгийн. Баталгаа нь ч хялбар.
Бид гол зорьлогоо дахин нэг хэлнэ: функцийг дээд, доод нийлбэрvvдийг нь олно гэж ядаргаатахгvйгээр интегралчихал. (f(x)=x2 функцийн интегралыг тэгэж олох ямар хэцvv байсныг санаж байна уу?) Бид өмнө нь F(x) функцийг тодорхойлж байсан. Хэрвээ энэ функцийн хялбар томъёог олоодохвол интегралыг хялбарханаар олох гээд байна. Гэхдээ яг F(x) функцрvv дайраад юу ч олж долоохгvй. Харин F - ийн уламжлалруу дайрвал яах бол?
Ньютон - Лейбницийн Теорем (1-р хэсэг)
[a, b] завсар дээр интегралтай f функц байг. Бас
гэе. Хэрвээ f нь [a, b] завсарын дурын c дээр тасралтгvй бол F(c) нь c дээр уламжлалтай ба F'(c)=f(c).
Баталгаа
c=a, с=b тохиолдолыг дасгал болгож vлдээх учраас бид с (a, b) завсард байх тохиолдолыг батлана. Тодорхойлолт ёсоор
байдаг. h > 0 гэвэл
байна.
mh = inf {f(x) : c 
x c+h}
Mh = sup {f(x) : c x c+h}
гэж тодорхойлвол 25-р теорем ёсоор
байна. h<0 тохиолдолыг энэ мэтээр бодоод бас л (1) тэнцэтгэл биштэй хоцроно. f функц c дээр тасралтгvй болохлээр, тодорхойлолт ёсоор
байна. F'(c) нь f(c) функцээс их (тэнцvv байж болно), бас бага (бас л тэнцvv байж болно) учраас эцсийн эцэст F'(c)=f(c) л байж таарна!
Энэ теоремийг яагаад vнэн гэдгийг зvгээр хар ухаанаар харж болно. F(x) функц чинь f функцийг зvvн, баруун талруу явахад vvссэн дvрсийн талбай учраас F - ийн уламжлал, өөрөөр хэлбэл тэр агшин зуурт "бий болсон" талбай нь яг тэр мөчдөх f - ийн утга л байж таараа.
Бас нэг юмийг ажиглаж болно. Хэрвээ
0 бол 0}.)
